Endlich gelöst! Aufgaben zur Mathematik für Ingenieure und by Wilhelm Merz, Peter Knabner

By Wilhelm Merz, Peter Knabner

Das Buch bietet detailliert und verständlich ausgearbeitete Lösungsvorschläge zu den 430 Aufgaben aus dem Buch "Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Lineare Algebra und research in R". Zahlreiche dieser Lösungsvorschläge werden gesondert besprochen und analysiert, und bei einigen Aufgaben werden verschiedene Lösungswege vorgelegt.

Bedingt durch das breite Aufgabenspektrum, eignet sich dieses Lösungsbuch für eine Vielzahl von Studiengängen. Neben den Studierenden aus den Ingenieurstudiengängen, profitieren auch in besonderer Weise Mathematik- und Lehramtsstudierende von der Aufgabenvielfalt.

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B) Nach dem Horner-Schema ergibt sich P() = , also lautet P(x) = (x − )Q  (x) + c  = (x − )(x  + x  + x  + x + ) +  . Führen Sie auch die Polynomdivision P(x) ∶ (x − ) durch! c) Es gilt nach dem erweiterten Horner-Schema P(x) = (x − ) + (x − ) + (x − ) + (x − ) + (x − ) +  . 20 Von P(x) = x  + Ax  + Bx  + Cx + D , 46 2 Komplexe Zahlen und Polynome mit A, B, C, D ∈ R, sei bekannt, dass x  =  + i ∈ C eine doppelte Nullstelle ist. Berechnen Sie mithilfe dieser Information P().

Auf gerundet bekommen wir 121 bzw. abgerundet 120. Als Ergebnis ergibt sich dann − bzw. ∞. Der nachfolgende stabile (s. dazu auch die nächste Aufgabe) Term liefert das wahre Ergebnis Dieser soll auf 3 Dezimalstellen genau berechnet werden. Wir erhalten A=  ⋅  = −. 48 Wie Sie sofort erkennen, sind beide vorgegebenen Terme von der Auslöschung bedroht, da jeweils eine Differenz etwa gleichgroßer Zahlen vorliegt. Durch geeignete Umformungen werden wir dies zu verhindern wissen. a) Wir bestimmen einfach den gemeinsamen Nenner und erhalten den stabilen Ausdruck −x x   − = .

Nach Induktionsvoraussetzung ist n +n − durch 9 teilbar und (−n) natürlich auch. Ebenso stimmt der Anfang, denn für n =  ergibt sich  +  −  = . Damit ist der vorgegebene Term für alle n ∈ N durch 9 teilbar. 37 Kommen wir gleich zum Induktionsanfang für n = . Es gilt  k ( − x) ∏ ( + x ( ) ) = ( − x)( + x) = ( − x  ) =  − x ( + ) . k= Damit ist die Behauptung für n =  richtig. A. =  − x ( n+ n+ ) ) ) ( + x ( n+ ) ) = ( − x (⋅ n+ ) ) . Damit ist die Aussage für alle n ∈ N wahr.

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