# Introduction to elements of differential and integral by Axel Harnack

By Axel Harnack

Writer: London : Williams and Norgate booklet date: 1891 matters: Calculus services Notes: this is often an OCR reprint. there's a number of typos or lacking textual content. There aren't any illustrations or indexes. for those who purchase the final Books version of this ebook you get unfastened trial entry to Million-Books.com the place you could choose between greater than 1000000 books at no cost. you may as well preview the publication there.

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Z)=-yllzI2 0 . Die komplexen trigonometrischen Funktionen Aus den für reelles x geltenden Beziehungen e ix = cos X + i sin x, e -ix = cos x-i sin x ergeben sich durch Addition bzw. Subtraktion die Eulerschen Formeln (7) 1 . sin x = - (e lX _e- IX ) 2i . (8) SO 1. Komplexe Funktionen einer komplexen Variablen Da die auf der rechten Seite stehenden Funktionen für beliebiges komplexes z definiert sind, können wir die Formeln (7) und (8) zur Definition des komplexen Cosinus und komplexen Sinus benutzen: 1.

Sm z für alle z, für die cos Zf:. 0 bzw. sin z f:. O. Wir diskutieren kurz das geometrische Verhalten von cos. Wegen der Beziehung (ii) kennen wir dann auch das geometrische Verhalten von sin. Es sei wie üblich z = x + iy und es bezeichne [ die loukowski-Funktion. Offenbar ist cos Z = [(e iZ ) . Die Abbildung z -+ cos z lässt sich also aus den beiden 52 1. Komplexe Funktionen einer komplexen Variablen bekannten Abbildungen z~ z\:=e iz , zusammensetzen. Zudem genügt es wegen der Periodizität von cos und Beziehung (9), cos auf dem Streifen S:O

AUFGABEN 1. Man bilde den Keil larg zl < 1r/4 so auf den Parallelstreifen -d < Im w < d ab, dass die Symmetrie bezüglich der reellen Achse erhalten bleibt und der Punkt z = 1 in w = 0 übergeht. Zeichne die Bilder der Strahlen arg z = cf>o und der Kreisbogen Izl = ro! 2. Wir betrachten die Abbildung (Hauptwert) . Welches sind die Bilder (a) des Punktes z = i, (b) der imaginären Achse, (c) des Halbstreifens -1:\$ Re z -< 1, Im z C: O? 6. Der komplexe Logarithmus, allgemeine Potenzen 41 3. Sei z = re i .

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